Teori Bilangan

Pada kesempatan ini saya akan membahas tentang masalah yang berhubungan dengan materi olimpiade matematika… buat rekan-rekan guru silakan berikan masukan untuk perbaikan selanjutnya.

TEORI BILANGAN

3.1. Keterbagian

Kita telah mengetahui bahwa 13 dibagi 5 hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis sebagai :

\frac{13}{5} = 2 + \frac {3}{5}  atau 13 = 2 x 5 + 3

Secara umum, apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga :

a = qb + r ,   0 < r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “a dibagi dengan b”. Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi b dan ditulis b|a. Untuk a tidak habis dibagi b ditulis b ditulis b ł a.

Sifat-sifat keterbagian :

  1. a|b dan b|c maka a|c
  2. ab|c maka a|c dan b|c
  3. a|b dan a|c maka a|(bx + cy) untuk sembarang bilangan bulat x dan y.

Di sini akan dibuktikan sifat (1). Pembuktian sifat (2) dan (3) diserahkan kepada pembaca.

Bukti sisfat (1)

a|b maka b = ka

b|c maka c = lb = l (kl)a maka a|c.

Di bawah ini adalah kaidah-kaidah menentukan keterbagian suatu bilangan yang cukup besar.

  1. Keterbagian oleh 2″

    Suatu bilangan habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n.

    A1. Untuk n = 1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.

    A2. Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4

    A3. Untuk n = 3 berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.

    Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah A1. Pembuktian kaidah A2 dan A3 diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah A1

Misalkan bilangan itu :

a = …a3 a2 a1 a0

= 10(a3 a2 a1) + a0

Karena 10 (….a3 a2 a1) habis dibagi 2 maka agar a habis dibagi 2 maka haruslah a0 habis dibagi 2.

Contoh soal 1

Tentukan apakah 173332 habis dibagi oleh :

a). 2 b). 4 c). 8

pembuktian :

a). Karena 2|2 maka 2|173332

b). Karena 4|32 maka 4|173332

c). Karena 8 ł 332 maka 8 ł 173332

  1. Keterbagian 3, 9, dan 11

    Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah a = an an-1 an-2 … a1 a0.

    B1. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya (an + an-1 + … + a1 + a0) habis dibagi 3

    B2. Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-nagkanya (an + an-1 + … + a1 + a0) habis dibagi 9

    B3. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya (an – an-1 + an-2 + … ) habis dibagi 11

    Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah B1. Pembuktian kaidah B2 dan B3 diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah B1.

a = an an-1 … a1 a0

= an X 10n + an-1 X 10n-1 + … + a1 X 10 + a0 X 100

= an X (9 + 1)n + an-1 X (9 + 1)n-1 + … + a1 X (9 + 1) + a0

= an[9n + n . 9n-1 + ... + 9n] + an + an-1 [9n-1 + (n-1)9n-2 + ... + 9(n-1)] + an-1 + … + 9a1 + a1 + a0

Dapat dipilih menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah jumlah semua suku yang merupakan kelipatan 9 yang dilambangkan sebagai K(a) dan bagian kedua adalah jumlah angka-angka :

Q(a) = an + an-1 + …
+ a1 + a0

Maka :    a = K(a) + Q(a)

Karena 3 | K(a) maka agar 3|a haruslah 3 | Q(a)

Contoh soal 2

Tentukan apakah 1815 habis dibagi :

a). 3 b). 9 c). 11

penyelesaian :

jumlah angka-angka 1815 = 1 + 8 + 1 + 5 = 15

a). Karena 3|15 maka 3|1815

b). Karena 9 ł 15 maka 9 ł 1815

c). Jumlah-silang tanda-ganti angka-angka bilangan 1815 = 1 – 8 + 1 – 5 = -11

Karena 11|-11 maka 11|1915

Contoh soal 3

Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b

Penyelesaian :

72 = 8 x 9. Karena itu 8|a1989b b = 6

Juga 9|a + 1 + 9 + 8 + 9 + b = a = 33 a = 3

Baca lebih lanjut

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.