Teori Bilangan

Pada kesempatan ini saya akan membahas tentang masalah yang berhubungan dengan materi olimpiade matematika… buat rekan-rekan guru silakan berikan masukan untuk perbaikan selanjutnya.

TEORI BILANGAN

3.1. Keterbagian

Kita telah mengetahui bahwa 13 dibagi 5 hasil baginya 2 dan sisanya 3 dan ditulis sebagai :

\frac{13}{5} = 2 + \frac {3}{5}  atau 13 = 2 x 5 + 3

Secara umum, apabila a bilangan bulat dan b bilangan bulat positif, maka ada tepat satu bilangan bulat q dan r sedemikian hingga :

a = qb + r ,   0 < r < b

dalam hal ini, q disebut hasil bagi dan r sisa pada pembagian “a dibagi dengan b”. Jika r = 0 maka dikatakan a habis dibagi b dan ditulis b|a. Untuk a tidak habis dibagi b ditulis b ditulis b ł a.

Sifat-sifat keterbagian :

  1. a|b dan b|c maka a|c
  2. ab|c maka a|c dan b|c
  3. a|b dan a|c maka a|(bx + cy) untuk sembarang bilangan bulat x dan y.

Di sini akan dibuktikan sifat (1). Pembuktian sifat (2) dan (3) diserahkan kepada pembaca.

Bukti sisfat (1)

a|b maka b = ka

b|c maka c = lb = l (kl)a maka a|c.

Di bawah ini adalah kaidah-kaidah menentukan keterbagian suatu bilangan yang cukup besar.

  1. Keterbagian oleh 2″

    Suatu bilangan habis dibagi 2n jika n bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2n.

    A1. Untuk n = 1 berarti suatu bilangan habis dibagi 2 jika angka terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 2.

    A2. Untuk n = 2 berarti suatu bilangan habis dibagi 4 jika 2 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 4

    A3. Untuk n = 3 berarti suatu bilangan habis dibagi 8 jika 3 bilangan terakhir dari bilangan tersebut habis dibagi 8.

    Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah A1. Pembuktian kaidah A2 dan A3 diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah A1

Misalkan bilangan itu :

a = …a3 a2 a1 a0

= 10(a3 a2 a1) + a0

Karena 10 (….a3 a2 a1) habis dibagi 2 maka agar a habis dibagi 2 maka haruslah a0 habis dibagi 2.

Contoh soal 1

Tentukan apakah 173332 habis dibagi oleh :

a). 2 b). 4 c). 8

pembuktian :

a). Karena 2|2 maka 2|173332

b). Karena 4|32 maka 4|173332

c). Karena 8 ł 332 maka 8 ł 173332

  1. Keterbagian 3, 9, dan 11

    Misalkan bilangan yang akan dibagi adalah a = an an-1 an-2 … a1 a0.

    B1. Bilangan a habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya (an + an-1 + … + a1 + a0) habis dibagi 3

    B2. Bilangan a habis dibagi 9 jika jumlah angka-nagkanya (an + an-1 + … + a1 + a0) habis dibagi 9

    B3. Bilangan a habis dibagi 11 jika jumlah silang tanda ganti angka-angkanya (an – an-1 + an-2 + … ) habis dibagi 11

    Yang akan dibuktikan di sini adalah kaidah B1. Pembuktian kaidah B2 dan B3 diserahkan kepada pembaca.

Bukti kaidah B1.

a = an an-1 … a1 a0

= an X 10n + an-1 X 10n-1 + … + a1 X 10 + a0 X 100

= an X (9 + 1)n + an-1 X (9 + 1)n-1 + … + a1 X (9 + 1) + a0

= an[9n + n . 9n-1 + … + 9n] + an + an-1 [9n-1 + (n-1)9n-2 + … + 9(n-1)] + an-1 + … + 9a1 + a1 + a0

Dapat dipilih menjadi dua bagian. Bagian pertama adalah jumlah semua suku yang merupakan kelipatan 9 yang dilambangkan sebagai K(a) dan bagian kedua adalah jumlah angka-angka :

Q(a) = an + an-1 + …
+ a1 + a0

Maka :    a = K(a) + Q(a)

Karena 3 | K(a) maka agar 3|a haruslah 3 | Q(a)

Contoh soal 2

Tentukan apakah 1815 habis dibagi :

a). 3 b). 9 c). 11

penyelesaian :

jumlah angka-angka 1815 = 1 + 8 + 1 + 5 = 15

a). Karena 3|15 maka 3|1815

b). Karena 9 ł 15 maka 9 ł 1815

c). Jumlah-silang tanda-ganti angka-angka bilangan 1815 = 1 – 8 + 1 – 5 = -11

Karena 11|-11 maka 11|1915

Contoh soal 3

Bilangan berangka enam berikut a1989b habis dibagi 72. Tentukan a dan b

Penyelesaian :

72 = 8 x 9. Karena itu 8|a1989b b = 6

Juga 9|a + 1 + 9 + 8 + 9 + b = a = 33 a = 3

Baca lebih lanjut

Moodle sebuah E-learning yang menjanjikan ….

Abi 1Seorang guru sebuah sekolah menengah di Jakarta mengeluhkan adanya biaya pembuatan portal website untuk kepentingan sekolahnya. Nilai proyek pembuatan website dan biaya sewa server untuk hosting (tempat meletakkan file di website) itu mencapai jutaan rupiah per bulan. Biaya itu sebenarnya bisa dipangkas jika mereka mengetahui banyak software gratis yang siap digunakan.

Di dunia internet, banyak manusia super baik hati yang mendedikasikan hidupnya untuk kepentingan sosial. Mereka bekerja siang malam selama bertahun-tahun untuk menghasilkan perangkat lunak gratis. Dalam konteks ini, manusia-manusia seperti itu jauh lebih baik hatinya dibanding institusi pemerintahan kita.

Salah satunya adalah Martin Dougiamas, pendiri software e-learning (electronic learning, pembelajaran elektronik berbasis website) bernama Moodle yang beberapa hari lalu memenangi penghargaan The Best Education Enabler pada ajang “2008 Google-O’Reilly Open Source Awards”. Dougiamas membuat Moodle hanya untuk hobi, walaupun di akhir kisah, dia juga menjadikan hobi itu sebagai tesis untuk mendapatkan gelar PhD dari Curtin University of Technology di Perth, Australia.

Dedikasi, inovasi, dan kontribusi untuk open source dari software Moodle memang fenomenal. Moodle hingga kini masih memimpin sebagai software gratis untuk membangun website komunitas yang mendukung proses pembelajaran berbasis website.

Moodle mencitpakan genre baru di bidang kategori software, yaitu Course Management System (CMS). CMS biasanya singkatan dari Content Management System, software sejenis tetapi lebih fokus pada isi berita.

Prinsip pedagogi dipegang teguh Moodle karena membantu pendidik menciptakan komunitas pendidikan online. Software ini bisa digunakan guru atau institusi pendidikan. Juga potensial digunakan perseorangan untuk membangun kursus online.

Hingga Januari 2008, jumlah website yang menggunakan Moodle tercatat 38.896 website (yang resmi terdaftar) dan digunakan 16.927.590 pengguna dengan jumlah materi 1.713.438 buah.

Instalasi Moodle

Huruf “M” pada Moodle berarti Martin, nama pendirinya. Namun, Moodle secara resmi merupakan singkatan dari Modular Object-Oriented Dynamic Learning Environment, tempat belajar dinamis menggunakan model berorientasi obyek.

Program ini bisa diunduh dari http://www.moodle.org. Dibutuhkan ruangan hosting (untuk menempatkan file di website) minimal 59,34 MB. Server harus mendukung Apache, PHP, dan database MySQL atau PostgreSQL.

Instalasi termasuk mudah dan bisa dilakukan seorang pemula. Untuk hosting yang memiliki Fantastico, proses instalasi makin mudah karena bisa dilakukan instan lewat Fantastico.

Dengan Moodle, guru memiliki kontrol penuh terhadap aktivitas belajar, mulai membuat materi, penugasan, menentukan siapa yang berhak mengikuti, survei, jurnal, kuis, chatting, workshop, forum diskusi, mengirim e-mail kepada murid, dan masih banyak lagi.

Dari sisi tampilan, Moodle tampak biasa saja, tetapi sistem yang tertanam di dalamnya terbilang canggih. Bukan hal mengherankan jika Moodle memang yang terbaik di kelasnya.

Moodle Indonesia

Masih sedikit lembaga pendidikan Indonesia yang memanfaatkan Moodle. Kemungkinan terjadi karena banyak pembuatan website di dunia pendidikan lebih berbasis proyek dan dikerjakan oleh developer berbayar mahal.

Daftar website yang menggunakan Moodle bisa dilihat di http://moodle.org/sites/index.php?country=ID. Tercatat ada 285 website, mulai dari website milik perusahaan, universitas, sekolah, lembaga pendidikan nonformal, hingga situs pribadi.

Perusahaan yang memanfaatkan Moodle, misalnya, Garuda Indonesia e-Learning dengan alamat http://training.garuda-indonesia.com/mynts. Lion Air dengan alamat http://ltc.lionair.co.id. Cek juga e-learning milik PT WIKA di http://e-learning.wikarealty.co.id.

Untuk kategori universitas ada FMIPA Universitas Gadjah Mada, http://kuantum.mipa.ugm.ac.id. Beberapa lembaga di bawah Institut Teknologi Bandung (ITB) juga menggunakan Moodle, misalnya http://kuliah.itb.ac.id.

Dalam diskusi di http://www.moodle.org, beberapa di antaranya datang dari Indonesia, mengungkap kendala penggunaan e-learning. Apa yang diungkapkan Yudi Wibisono pada tahun 2005 tampaknya masih aktual hingga sekarang.

“Saya merasa hal yang paling sulit adalah meyakinkan jurusan atau fakultas dan dosen lain mengenai masa depan e-learning ini. Harus sabar dan terus-menerus beriklan. Beberapa dosen juga mengalami kesulitan dan takut menggunakan Moodle. Pemberian dokumen petunjuk penggunaan bagi dosen mungkin bisa membantu,” katanya.

Pengguna lain, Yuyun Somantri lewat forum Moodle, menyampaikan keputusasaannya, “Sulit sekali meyakinkan atasan dan teman-teman. Dari 76 orang guru, dua guru TIK dan saya guru Matematika, jelas kalah suara. Sebanyak 73 guru plus satu Kepala Sekolah bilang, ‘Untuk apa (e-learning)? Tidak akan efektif, yang ujungnya ke masalah biaya hosting, kelihatannya tidak mendatangkan keuntungan malah menambah beban,” katanya.

Banyak institusi pendidikan yang tak memanfaatkan e-learning untuk memperkaya pengalaman belajar. Beberapa institusi sudah menggunakannya, tetapi lebih ke gengsi sekolah daripada mengejar efektivitas.

Padahal, dalam pandangan Martin Dougiamas, pendiri software Moodle, Moodle akan merevitalisasi cara belajar top-down (dari atas ke bawah) menjadi proses pembelajaran yang partisipatif. Beberapa resum singkat tulisan dia bisa dilihat di situs pribadinya, http://www.dougiamas.com.

Moodle memaksa sekolah untuk menerapkan sistem pendidikan yang menghargai pemikiran murid. Murid tidak lagi dianggap sebagai “gelas kosong”, karena itu para murid boleh mengomentari materi atau modul, bahkan bisa mengirim tulisan sebagai bahan pembelajaran. Proses belajar bisa datang dari siapa pun terutama dari anggota komunitas, termasuk dari seorang murid. Siapkah?
(kompas.com)

Menggagas Pembelajaran Berbasis “Web”

Penutupan ICT Based Learning brEsensi dari TIK adalah bagaimana cara mengolah data menjadi suatu informasi dan cara menyampaikan informasi tersebut secara efektif dengan menggunakan media elektronik.
Bertempat di  Aula Kantor Dinas Pendidikan Pemudah dan Olah Raga Kota Bau-Bau di jl. Dipenogoro No. 12 selama 5 hari (5-9 Oktober 2009), sebanyak 60 orang yang terdiri dari guru SD, SMP SMA, MAN, SMK dan pengawas sekota Bau-Bau mengikuti Training/Workshop “ICT-Based Learning for Teachers”. Kegiatan yang bertujuan meningkatkan kompetensi guru-guru sekota Bau-Bau yang diselenggarakan oleh SEAMEO SEAMOLEC Jakarta bekerja sama dengan Dinas Pendidikan Pemuda dan Olahraga Kota Bau-Bau.

Masyarakat dewasa ini, termasuk komunitas pendidikan, mau tidak mau, suka tidak suka, direncanakan atau tidak, langsung maupun tidak langsung, akan terkena dampak kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi (IPTEK), globalisasi (terutama dalam bidang ekonomi dan budaya serta pendidikan), serta teknologi informasi dan komunikasi (TIK).
Di sini, pendidikan dipandang sebagai produk budaya manusia untuk memenuhi kepentingannya, khususnya yang berkaitan dengan pewarisan nilai-nilai, IPTEK, dan pengembangan kecerdasan dalam kaitan dengan peningkatan kualitas hidup. Oleh sebab itu, peran pendidik, antara lain menggugah dan membangkitkan “naluri ingin tahu” , hasrat ingin belajar (need for learning), bagaimana membantu atau memfasilitasi setiap orang agar mau dan mampu menciptakan proses belajar produktif, efektif, kreatif, dan rekreatif, serta menyenangkan.

Ada beberapa alasan mengapa guru harus melek TIK? Pertama, karena tuntutan global yang harus disikapi dengan tindakan local,  di antaranya mempersiapkan sumber daya manusia (baca: peserta didik) yang memiliki kompetensi skala nasional dan internasional berbasis keunggulan lokal. Kedua, Baca lebih lanjut

STATISTIKA

STATISTIKA

Standar Kompetensi

Menggunakan  aturan Statistika dalam menyajikan dan meringkas data dengan berbagai cara serta memberi tafsiran; menyusun, dan menggunakan kaidah pencacahan dalam mennetukan banyak kemungkinan; dan menggunakan aturan peluang dalam menentukan dan menafsirkan peluang kejadian majemuk.

A.   PENGUMPULAN DAN PENYAJIAN DATA.

Kompetensi Dasar      : 1.1.   Membaca,menyajikan, serta menafsirkan kecenderungan data da- lam bentuk tabel dan diagram.

Pengalaman Belajar: 1.1.1. Menggali informasi tentang sajian data dalam bentuk diagram garis, batang  , diagram  garis dan diagram lingkaran.

1.1.2. Menyajikan data dalam bentuk diagram   .

Sebelum mempelajari serta mengenal, memahami dan menyelesaikan beberapa permasalahan matematika yang menyangkut statistika diharapkan peserta didik secara mandiri dan atau kelompok diskusi menggali informasi dan pengalaman belajar terdahulu dari beberapa sumber referensi maupun media interaktif.

Diskusikan dengan kelompok belajar anda, guna memahami beberapa hal berikut ini:

Pengantar materi:

Untuk menghindari kejenuhan membaca data berupa angka-angka, suatu kumpulan angka / data, banyak kita jumpai disajikan dalam bentuk diagram. Hal ini diperlukan guna menarik perhatian pembaca.  Data merupakan keterangan–keterangan dari objek–objek yang diamati. Makin lengkap data–data yang dikumpulkan biasanya makin baik dan makin memperkuat kesimpulan dan ramalan yang di hasilkan.

Darri segi bentuknya, data dapat dibedakan sebagai berikut :

  1. Data kuantitatif, yaitu data yang berbentuk bilangan.

Misalnya, data tentang ukuran tinggi badan, data tentang upah buruh,  dll.

  1. Data kualitatif, yaitu data yang tidak berbentuk bilangan.

Misalnya data tentang pekerjaan orang tua murid, data tentang mutu barang, (apakah kualitasnya tinggi, sedang atau rendah ).

A.1.  PENGUMPULAN DATA.

Macam – macam cara pengumpulan data, antara lain:

  1. 1. Penelitian lapangan (pengamatan langsung ) atau observasi.

Pengumpulan data dilakukan langsung mengadakan penelitian ke lapangan atau laboratorium terhadap suatu objek penelitian.

  1. 2. Wawancara (interview).

Pengumpulan data dilakukan dengan wawancara langsung kepada objek atau kepada orang yang mengetahui persoalan objek.

  1. 3. Angket (kuesioner).

Pengumpulan data dilakukan dengan menggunakan daftar isian atau suatu daftar pertanyaan yag telah disiapkan dan disusun oleh peneliti sedemikian rupa sehingga nantinya di dapatkan jawaban atau isian yang dikehendaki.

4.   Media cetak atau elektronika, dll. Baca lebih lanjut

Soal Latihan Matematika

di halaman ini tersedia soal-soal latihan matematika SMA :

Peluang (Probabilitas)

  1. PELUANG

Teori peluang muncul dari inspirasi para penjudi yang berusaha mencari informasi bagaimana kesempatan mereka untuk memenangkan suatu permainan judi.  Girolamo Cardano (1501-1576), seorang penjudi dan fisikawan adalah orang pertama yang menuliskan analisis matematika dari masalah-masalah dalam permainan judi. Adapun ilmu hitung peluang yang dikenal dewasa ini dikemukakan oleh tiga orang Prancis, yaitu bangsawan kaya Chevalier de Mere dan dua ahli matematika, yaitu Blaise Pascal dan Pierre de Fermat.

Walapun teori peluang awalnya lahir dari masalah peluang memenangkan permainan judi, tetapi teori ini segera menjadi cabang matematika yang digunanakan sacara luas. Teori ini meluas penggunaannya dalam bisnis, meteorology, sains, dan industri. Misalnya perusahaan asuransi jiwa menggunakan peluang untuk menaksir berapa lama seseorang mungkin hidup; dokter menggunakan peluang untuk memprediksi kesuksesan sebuah pengobatan; ahli meteorologi menggunakan peluang untuk kondisi-kondisi cuaca; peluang juga digunanakan untuk memprediksi hasil-hasil sebelum pemilihan umum; peluang juga digunakan PLN untuk merencanakan pengembangan sistem pembangkit listrik dalam menghadapi perkembangan beban listrik di masa depan, dan lain-lain. Baca lebih lanjut

Integrasi Iptek dan Imtaq kedalam Pembelajaran

PENDAHULUAN

A.      Latar Belakang

Gagasan tentang perlunya integrasi pendidikan iptek dan imtaq ini sudah lama digulirkan. Profesor B.J. Habibie, adalah orang pertama yang menggagas integrasi iptek dan imtaq ini. Hal ini, selain karena adanya problem dikotomi antara apa yang dinamakan ilmu-ilmu umum (sains) dan ilmu-ilmu agama (Islam), juga disebabkan oleh adanya kenyataan bahwa pengembangan iptek dalam sistem pendidikan kita tampaknya berjalan sendiri, tanpa dukungan asas iman dan  taqwa yang kuat, sehingga dikhawatirkan pengembangan dan kemajuan iptek tidak memiliki nilai tambah dan tidak memberikan manfaat yang cukup berarti bagi kemajuan dan kemaslahatan umat dan bangsa dalam arti yang seluas-luasnya.

Kekhwatiran ini, cukup beralasan, karena sejauh ini sistem pendidikan kita tidak cukup mampu menghasilkan manusia Indonesia yang beriman dan bertaqwa kepada Allah SWT sebagaimana yang diharapkan. Berbagai masalah sosial dan tindak kejahatan sering terjadi dan banyak dilakukan justru oleh orang-orang yang secara akademik sangat terpelajar, bahkan mumpuni seperti narkoba, banyaknya tawuran antar pelajar, pornografi, pornoaksi dan lain-lain, yang kesemuanya itu berpotensi untuk menimbulkan kerawanan sosial berupa degradasi moral dan hanyutnya etika-etika ketimuran atau lebih khusus lagi merosotnya akhlakul karimah. Ini berarti, aspek pendidikan turut menyumbang dan memberikan saham bagi kebangkrutan bangsa yang kita rasakan sekarang. Kenyataan ini menjadi salah satu catatan mengenai raport merah pendidikan nasional kita.

Baca lebih lanjut